ar X iv : h ep - t h / 92 08 00 6 v 1 3 A ug 1 99 2 1 QUANTUM AND BRAIDED LINEAR ALGEBRA 1

Quantum matrices A(R) are known for every R matrix obeying the Quantum Yang-Baxter Equations. It is also known that these act on ‘vectors’ given by the corresponding Zamalodchikov algebra. We develop this interpretation in detail, distinguishing between two forms of this algebra, V (R) (vectors) and V (R) (covectors). A(R) → V (R21)⊗V (R) is an algebra homomorphism (i.e. quantum matrices are realized by the tensor product of a quantum vector with a quantum covector), while the inner product of a quantum covector with a quantum vector transforms as a scaler. We show that if V (R) and V (R) are endowed with the necessary braid statistics Ψ then their braided tensorproduct V (R)⊗V (R) is a realization of the braided matrices B(R) introduced previously, while their inner product leads to an invariant quantum trace. Introducing braid statistics in this way leads to a fully covariant quantum (braided) linear algebra. The braided groups obtained from B(R) act on themselves by conjugation in a way impossible for the quantum groups obtained from A(R). RESUMÉ Les matrices quantiques A(R) sont connus pour chaque matrice R qui satisifie les equations de Yang-Baxter. Il est encore connu qu‘ils agissent sur les ‘vecteurs’ donnés par l’algèbre de Zamalodchikov correspondant. Nous prolongons cette interpretation, distinguissant deux versions de cette algébre, V (R) (vecteurs) at V (R) (covecteurs). A(R) → V (R21)⊗V (R) est une homomorphisme des algèbres, et le produit intérieur d’un covecteur quantique avec un vecteur quantique se transforme comme un scaleur. Nous demonstrons que si V (R) et V (R) sont munis des statistiques tressées Ψ, alors leur produit tensoriel-tressé V (R)⊗V (R) est une réalization des matrices tressés B(R) introduits déja, et leur produit intérieur s’amene à une trace invariante. Par introduisant les statistiques tressées dans cette façon nous obtenons un algèbre linéair quantique (tressé) et totalement covariant. Les groupes tressés obtenus de B(R) s’agissent sur eux-même par conjugaison dans une manière qui est impossible pour les groups quantiques obtenus de A(R). 1991 Mathematics Subject Classification 18D35, 16W30, 57M25, 81R50, 17B37. SERC Research Fellow and Drapers Fellow of Pembroke College, Cambridge 2 SHAHN MAJID